Турищев Л.С. Строительная механика УМК Часть 1. Статически определимые системы, Новополоцк ПГУ 2005

Рис. 5.5

Для ее определения проведем сквозное сечение через замковый шарнир и затяжку (рис. 5.5, б) и составим для левой полуарки уравнение моментов относительно шарнира C

∑M Cл.ч. = 0; − N зат f + M C0				= 0 .
Отсюда найдем
	M	0
N зат =		C	.	(5.6)
	f

Сравнивая (5.2) и (5.6), можно сделать вывод, что усилие в затяжке равняется по величине распору трехшарнирной арки

N зат = H .

(5.7)

Из (5.7) следует, что для определения внутренних усилий в трехшарнирной арке с затяжкой можно использовать формулы (5.3) – (5.5). Поэтому такая конструкция имеет то же преимущество перед балкой, что и арка без затяжки. В свою очередь появление затяжки позволяет разгрузить опорные конструкции арки и, следовательно, избавиться от ее недостатка.

121

5.2.5. Особенности расчета трехшарнирной арки в других случаях

При расчете трехшарнирных арок иной геометрии или на действие нагрузок произвольного вида затруднительно получить единые формулы типа (5.1) – (5.5). Поэтому определение арочных опорных реакций и внутренних усилий статическим методом целесообразно осуществлять в каждом конкретном случае индивидуально. Покажем это на примере определения внутренних усилий в арке симметричного очертания с опорами в одном уровне при действии произвольной нагрузки.

При определении изгибающего момента, поперечной и продольной сил в произвольном сечении K в трехшарнирной арке симметричного очертания с опорами в одном уровне на действие произвольной нагрузки (рис. 5.6, а) следует иметь в виду следующие две особенности опорных реакций. Во-первых, вертикальные составляющие опорных реакций трехшарнирной арки не равны опорным реакциям соответствующей балки

VA ≠VA0 , VB ≠VB0 .

И, во-вторых, горизонтальные составляющие опорных реакций не равны между собой

H A ≠ H B

и, следовательно, у арки отсутствует единый распор.

Рис. 5.6

122

Разделим арку в сечении K на две части (рис. 5.6, б). Приводя внешние силы левой части арки к центру тяжести поперечного сечения правой части и вычисляя их главный момент, получим следующую формулу для изгибающего момента арки в сечении K

л.ч.	л.ч.
M K =VA (l − xK ) − H A ( f − yK ) − ∑P yi (l − xK −ai ) − ∑P xi ( f − yK −bi ) .
i	i

Для определения поперечной силы найдем проекцию главного вектора внешних сил левой части на нормаль n-n к оси арки в сечении K

л.ч.	л.ч.
QK =VA cos ϕK − H A sin ϕK − ∑Pyi cos ϕK − ∑Pxi sin ϕK .
i	i

Вычисляя проекцию главного вектора внешних сил на касательную τ-τ к оси арки в сечении K, найдем продольную силу арки в этом сечении

л.ч.	л.ч.
NK = −VA sin ϕK − H A cos ϕK + ∑Pyi sin ϕK − ∑Pxi cos ϕK .
i	i

5.3. Анализ распределения внутренних усилий в трехшарнирной арке от неподвижной вертикальной нагрузки

Для трехшарнирной арки с опорами на одном уровне при действии произвольной неподвижной вертикальной нагрузки можно без расчетов установить некоторые закономерности в изменениях величин изгибающих моментов и продольных сил. Это позволяет получить качественную картину распределения этих усилий по длине пролета и, следовательно, осуществлять контроль правильности расчета арки.

5.3.1. Понятие о рациональном очертании оси арки

Рассмотрим трехшарнирную арку, нагруженную равномерно распределенной нагрузкой (рис. 5.7, а).

Арка очерчена по закону квадратной параболы

	y = f	x2	(5.8)
		l2

и угол наклона касательной ϕ к оси арки характеризуется выражением

	tgϕ = dy	= 2	f	x .	(5.9)
			l
	dx
	123

Используя формулы (5.3) и (5.4), определим для рассматриваемой арки изгибающие моменты и поперечные силы. Формулу (5.4) преобразуем к виду

QK = (QK0 − HtgϕK ) cos ϕK .

(5.10)

Сначала найдем в балке (рис. 5.7, б) опорные реакции

VA0 =VB0 = ql ,

Рис. 5.7

изгибающие моменты в произвольном сечении K

M K0 = ql(l − x) − q(l − x)2						= q(l 2 − x2 )
		2					2
и сечении С
M C0		=		ql 2		,
		2
а также поперечную силу в произвольном сечении K
QK0 = ql − q(l − x) = qx .
С учетом (5.12) распор арки будет равняться
	M 0				ql 2
H =		C	=		2 f		.
		f

(5.11)

(5.12)

(5.13)

(5.14)

124

Для определения изгибающего момента и поперечной силы арки в произвольном сечении K подставим (5.8), (5.11), (5.14) в формулу (5.3) и (5.9), (5.13), (5.14) в формулу (5.10). После несложных преобразований получим

M K ≡ 0	(5.15)
и
QK ≡ 0 .	(5.16)

Из (5.15) и (5.16) следует, что при нагружении арки, очерченной по квадратной параболе, равномерно распределенной нагрузкой по всему пролету, в ней не возникают изгибающие моменты и поперечные силы. Следовательно, преимущество арки перед балкой становится максимальным, и арка наиболее рационально воспринимает нагрузку.

Поскольку соотношение (5.16) не является независимым, так как изгибающие моменты поперечные силы связаны между собой дифференциальной зависимостью

QK = dMdsK ,

то основным признаком рациональности восприятия аркой нагрузки является соотношение (5.15). Поэтому очертание оси арки, при котором для заданной схемы нагружения в сечениях арки не возникают изгибающие моменты, называется рациональным очертанием.

При произвольной вертикальной нагрузке уравнение рационального очертания оси арки можно получить согласно (5.15), приравняв нулю правую часть формулы (5.3)

M K0 − H ( f − yK ) = 0 .

(5.17)

Поскольку величина ( f − yK ) описывает очертание оси арки относительно горизонтальной линии AB, то рациональное очертание в общем случае описывается уравнением

M 0

( f − yK ) = HK .

Таким образом, очертание оси арки будет рациональным при определенной схеме вертикального нагружения, если оно будет подобно очертанию балочной эпюры моментов для той же схемы нагружения.

125

5.3.2. Анализ изменения изгибающих моментов

Изгибающий момент в сечении трехшарнирной арки произвольного очертания согласно (5.3) представляет алгебраическую сумму двух величин

M K = M K0 − M KH ,	(5.18)
где M K0 – балочный изгибающий момент, M KH = H ( f − yK )	– изгибающий

момент от действия распора. Тогда согласно (5.18) арочные изгибающие моменты могут быть получены при наложении эпюры изгибающих моментов от действия распора, которая подобна очертанию оси арки, на эпюру балочных изгибающих моментов. При наложении эпюры пересекутся под замковым шарниром C, так как арочный момент M C ≡ 0 .

График, заключенный между очертаниями двух налагаемых эпюр, показывает качественную картину изменения арочных изгибающих моментов по длине пролета арки. Перенеся ординаты построенного графика на горизонтальную линию, получим очертание эпюры изгибающих моментов арки.

Тогда согласно (5.18) качественное очертание эпюры арочных изгибающих моментов получится при наложении эпюры изгибающих моментов от действия распора, очертание которой подобно очертанию оси арки, на эпюру балочных изгибающих моментов. При наложении эпюры пересекутся под замковым шарниром C, так как M C ≡ 0 .

Покажем применение изложенного для анализа изменения изгибающих моментов, возникающих в трехшарнирной арке при нагружении ее сосредоточенной силой (рис. 5.8, а).

В рассматриваемом случае эпюра балочных изгибающих моментов имеет треугольное очертание (рис. 5.8, б), а очертание эпюры моментов от распора подобно очертанию оси арки (рис. 5.8, в).

Картина изменения арочных изгибающих моментов показана на рис. 5.8, г. Из нее следует, что изгибающие моменты левой полуарки растягивают нижние волокна, а правой – верхние волокна.

Наибольшее значение изгибающего момента возникает в сечении левой полуарки, где приложена сосредоточенная сила.

126

Рис. 5.8

5.3.3. Анализ изменения продольных сил

Выясним закономерности в изменении продольных сил трехшарнирной арки при действии на нее произвольной вертикальной нагрузки (рис. 5.9, а). С этой целью рассечем арку в сечении K и рассмотрим равновесие правой части (рис. 5.9, б). Для этой части арки составим сумму проекций сил на ось x

∑xпр.ч. = 0; N K cos ϕK +QK cos ϕK + H = 0
и получим
NK = −QK tgϕK −	H	.	(5.19)
	cos ϕK

Формула (5.19) позволяет осуществить качественный анализ изменения продольных сил при действии произвольной вертикальной нагрузки.

Сначала рассмотрим частный случай, когда ось арки имеет рациональное очертание и, следовательно, QK ≡ 0 . Тогда формула (5.19) прини-

мает вид

NK = −	H	.	(5.20)
	cos ϕK
127

Из (5.20) видно, что при действии вертикальной нагрузки во всех сечениях арки возникают сжимающие продольные силы. Величины этих сил увеличиваются по модулю от замка к пятовым шарнирам. Наименьшая по модулю продольная сила, равная распору арки, возникает в замке

ϕK = 0; cos ϕK =1.

Рис. 5.9

Качественное очертание эпюры продольных сил имеет вид, показанный на рис. 5.10, а.

В общем случае, когда очертание оси арки не является рациональным, можно для качественного анализа в первом приближении также использовать формулу (5.20). Количественные поправки величин продольных сил, приносимые первым членом формулы (5.19), малы, особенно для пологих арок. Поэтому общий характер изменения продольных сил сохраняется. Однако наименьшая по модулю продольная сила возникает уже не в замке, и она не равняется распору. В зависимости от конкретной схемы нагружения такая продольная сила возникает в сечении арки левее или

128

правее замкового шарнира. Возможное качественное очертание эпюры продольных сил показано на рис. 5.10, б.

Рис. 5.10

5.4.Расчет трехшарнирной арки на подвижную нагрузку

Воснове расчета трехшарнирной арки на действие подвижной нагрузки лежит использование линий влияния. Рассмотрим построение статическим способом линий влияния опорных реакций и внутренних усилий трехшарнирной арки с опорами в одном уровне и имеющей симметричное очертание согласно заданному закону y = f (x) .

5.4.1. Линии влияния опорных реакций

Поскольку при действии вертикальной нагрузки вертикальные составляющие опорных реакций арки равны балочным опорным реакциям

VA =VA0 , VB =VB0 ,

129

то линии влияния VA и VB ничем не отличаются от линий влияния опор-

ных реакций простой балки того же пролета и имеют вид, показанный на рис. 5.11, а, б.

Рис. 5.11

Очертание линии влияния распора согласно формуле

M 0

H = fC

можно получить, используя линию влияния балочного изгибающего момента MC0 , поделив ее ординаты на стрелу подъема арки. Построенная линия влияния распора трехшарнирной арки показана на рис. 5.11, в.

5.4.2.Линия влияния изгибающего момента

Воснове построения линии влияния изгибающего момента лежит

использование формулы для определения момента в произвольном сечении K от действия вертикальной нагрузки

M K = M K0 − H (f − yK ).

130